Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{{101}}\) không là số tự

Câu hỏi số 387515:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{{101}}\) không là số tự nhiên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387515

Phương pháp giải

- Quy đồng mẫu số.

- Áp dụng tính chất chia hết: \(\left. \begin{array}{l}a\,\, \vdots \,\,k\\b\,\, \vdots \,\,k\end{array} \right\} \Rightarrow a \pm b\,\, \vdots \,\,k;\,\,a\,\, \vdots \,\,k \Rightarrow a.m\,\, \vdots \,\,k;\,\,\)\(\left. \begin{array}{l}a\,\, \vdots \,\,k\\b\,\,\not \vdots \,\,k\end{array} \right\} \Rightarrow a \pm b\,\,\not \vdots \,\,k.\)

Giải chi tiết

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{{101}}\) không là số tự nhiên.

\(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{{101}}\)\( = \dfrac{{7.9.11 \ldots 101}}{{5.7.9 \ldots 101}} + \dfrac{{5.9.11 \ldots 101}}{{5.7.9 \ldots 101}} + \ldots + \dfrac{{5.7.9.11 \ldots 99}}{{5.7.9 \ldots 101}}\)

\( = \dfrac{{7.9.11 \ldots 101 + 5.9.11 \ldots 101 + \ldots + 5.7.9.11 \ldots 99}}{{5.7.9 \ldots 101}}\)

Vì \(101\) là số nguyên tố và là số lớn nhất trong dãy số \(5,\,\,7,\,\,9,\,\,11, \ldots ,\,\,99\) nên tích \(5.7.9.11 \ldots 99\) không chia hết cho \(101\).

Mà ta lại có:

\(\left. \begin{array}{l}7.9.11 \ldots 101\,\, \vdots \,\,101\\5.9.11 \ldots 101\,\, \vdots \,\,101\\ \ldots \\5.7.9.11 \ldots 99\,\,\not \vdots \,101\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow 7.9.11 \ldots 101 + 5.9.11 \ldots 101 + \ldots + 5.7.9.11 \ldots 99\,\,\not \vdots \,\,101\)

Mặt khác, \(5.7.9 \ldots 101\,\,\not \vdots \,\,101\) do đó \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{{101}}\) không thể là một số tự nhiên.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link