Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 387517:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) là đường thẳng \(d\). Đường thẳng \(d\) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại \(A,\,\,B\). Gọi \(C\) là điểm biểu diễn số phức \(z = - 3i\). Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:

A. \(\dfrac{9}{4}\)

B. \(\dfrac{{27}}{4}\)

C. \(\dfrac{9}{2}\)

D. \(\dfrac{{27}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387517

Phương pháp giải

- Gọi \(z = x + yi\), thay vào giả thiết \(\left| {z + 2i} \right| = \left| {z - 4} \right|\) tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) và \(C\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC\).

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {x + yi + 2i} \right| = \left| {x + yi - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4y + 4 = {x^2} - 8x + 16 + {y^2}\\ \Leftrightarrow 8x + 4y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\end{array}\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(2x + y - 3 = 0\,\,\left( d \right)\).

Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox\) tại \(A\left( {\dfrac{3}{2};0} \right)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \(B\left( {0;3} \right)\).

Điểm \(C\) là điểm biểu diễn số phức \(z = - 3i\) nên \(C\left( {0; - 3} \right)\).

Ta có \(BC = \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 6\).

Do \(B,\,\,C \in Oy\) nên \(d\left( {A;BC} \right) = d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_A}} \right| = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {A;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.6 = \dfrac{9}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.