Cho \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.\) Biết \({a_0} + \dfrac{{{a_1}}}{2} + \dfrac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.\) Số lớn nhất trong các số \({a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n}\) có giá trị bằng

Câu 388666: Cho \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.\) Biết \({a_0} + \dfrac{{{a_1}}}{2} + \dfrac{{{a_2}}}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.\) Số lớn nhất trong các số \({a_0},{a_1},{a_2},...,{a_n}\) có giá trị bằng

A. 126720.

B. 924.

C. 972.

D. 1293600

Câu hỏi : 388666

Quảng cáo

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét: \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.\)

Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào 2 vế \( \Rightarrow {\left( {1 + 2.\dfrac{1}{2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}\dfrac{1}{2} + ... + {a_n}\dfrac{1}{{{2^n}}}\)

\( \Leftrightarrow {2^n} = 4096 \Leftrightarrow {2^n} = {2^{12}}\)\( \Leftrightarrow n = 12\)

\( \Rightarrow \) Biểu thức là: \({\left( {1 + 2x} \right)^{12}}\)

+ Số hạng tổng quát của khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{12}^k{.2^k}.{x^k}\)

\( + )\)Hệ số lớn nhất \( \Leftrightarrow y = C_{12}^k{.2^k}\) max \(\left( {0 \le k \le 12} \right)\)

Mà hệ số max \( \Rightarrow {k_{\max }}\)\( \Rightarrow \) Muốn \(k\) max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1)

\( \Rightarrow \) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(1)\\C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(2)\end{array} \right.\)

+ (1) \( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\,\,(12 - k + 1)!}}.\dfrac{{{2^k}}}{2} < \dfrac{{12!}}{{k!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}{.2^k}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{(k - 1)!\,\,\left( {13 - k} \right)\left( {12 - k} \right)!}}.\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{{k\left( {k - 1} \right)!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2.\left( {13 - k} \right)}} < \dfrac{1}{k} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\)

+ (2) ta làm tương tự như trên\( \Rightarrow \dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\\\dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < \dfrac{{26}}{3}\\k > \dfrac{{23}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 8,6\\k > 7,6\end{array} \right.\)(Mà k là số nguyên)\( \Rightarrow k = 8\)

\( \Rightarrow \)Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là: \(y\left( 8 \right) = \)\(C_{12}^8{.2^8} = 126720\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.