Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {x - 4{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^n}\) với \(x \ge 0\) và biết rằng \(C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + ... + {3^n} = 65536\) với \(n \in \mathbb{N}.\)

Câu 388664: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {x - 4{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^n}\) với \(x \ge 0\) và biết rằng \(C_n^0 + 3C_n^1 + {3^2}C_n^2 + ... + {3^n} = 65536\) với \(n \in \mathbb{N}.\)

A. \(17920.\)

B. \( - 17920.\)

C. \( - 19595.\)

D. \(19595\)

Câu hỏi : 388664

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\( + )\)Xét: \({\left( {x + 3} \right)^n} = C_n^0.{x^n}{.3^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}{.3^1} + ... + C_n^n.{x^0}{.3^n}\)

\( + )\)Thay \(x = 1\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0 + 3C_n^1 + ... + {3^n}\)

\( \Leftrightarrow {4^n} = 65536\) \( \Leftrightarrow {4^n} = {4^8}\)\( \Leftrightarrow n = 8\)

\( \Rightarrow \) Biều thức là \({\left( {x - 4.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^8}\)

\( + )\) Số hạng tổng quát của biểu thức \({\left( {x - 4.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^8}\)là:

\({T_{k + 1}} = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^k}\) \( = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{\frac{1}{2}k}}\)\( = C_8^k{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{8 - \frac{1}{2}k}}\)

Số hạng chứa \({x^6}\) \( \Rightarrow {x^{8 - \frac{1}{2}k}} = {x^6}\)\( \Leftrightarrow 8 - \frac{1}{2}k = 6\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k = 2\)\( \Leftrightarrow k = 4\)

\( \Rightarrow \) Hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là: \(C_8^4.{\left( { - 4} \right)^4} = 17920\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.