Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đường thẳng \(y = mx - m\) cắt đồ thị hàm số

Câu hỏi số 389212:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đường thẳng \(y = mx - m\) cắt đồ thị hàm số \(u = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại ba điểm phân biệt \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(AB = BC\).

A. \(m \in \mathbb{R}.\)

B. \(m \in \left( { - 1; + \infty } \right).\)

C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389212

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình đó có nghiệm phân biệt.

- Nhận xét các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) và lấy tọa độ của chúng thích hợp.

- Sử dụng công thức tọa độ trung điểm: Nếu \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 3{x^2} + 2 = mx - m\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - mx + m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\{x^2} - 2x - 2 - m = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2 - 2 - m \ne 0\\\Delta ' = 1 + 2 + m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 3\\m > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 3\).

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - 2 - m\end{array} \right..\)

Do \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng, lại có \(AB = BC\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(B\left( {1;0} \right)\) (vì \({x_B} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\)).

Do đó \(A\left( {{x_1};m{x_1} - m} \right);\,\,C\left( {{x_2};m{x_2} - m} \right)\).

Vì \(B\) là trung điểm của\(AC\) nên: AC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1\\\dfrac{{m{x_1} - m + m{x_2} - m}}{2} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 2m - 2m = 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\).

Chú ý khi giải

Đặt thứ tự các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) cho chính xác.

- Học sinh thường quên điều kiện để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.