Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích \(V\). Biết tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\),
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích \(V\). Biết tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), các mặt bên là hình thoi, \(\angle CC'B = {60^0}\). Gọi \(G,\,\,G'\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCB'\), \(A'B'C'\). Tính theo \(V\) thể tích khối đa diện \(GG'CA'\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích: Cho hình chóp \(S.ABC\). Trên \(SA,\,\,SB,\,\,SC\) lần lượt lấy các điểm \(A',\,\,B',\,\,C'\), khi đó ta có: \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SC}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\), so sánh \({V_{GG'CA'}}\) và \({V_{A'.GHC}}.\)
- So sánh \({S_{GHC}};\,\,{S_{BCC'B'}}\), từ đó so sánh \({V_{A'.GHC}};\,\,{V_{A'.BCC'B'}}\).
- Áp dụng \({V_{A'.BCC'B'}} = \dfrac{2}{3}V\), tính \({V_{GG'CA'}}\).
Đặt \({V_{GG'CA'}} = {V_1}.\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), ta có: \(\dfrac{{{V_{A'.G'GC}}}}{{{V_{A'.HGC}}}} = \dfrac{{A'G'}}{{A'H}} = \dfrac{2}{3}\).
Do đó \({V_1} = \dfrac{2}{3}{V_{A'.GHC}}.\)
Xét tam giác \(CC'B'\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}C'B' = C'C = a\\\angle CC'B' = {60^0}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \Delta CC'B'\) là tam giác đều cạnh \(a\)\( \Rightarrow CH \bot B'C'\) và \(CH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh tương tự ta có \(B'K \bot BC\).
\( \Rightarrow CKB'H\) là hình chữ nhật, do đó \(d\left( {G;CH} \right) = CK = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{GHC}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.2}} = \dfrac{1}{4}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{A'.GHC}}}}{{{V_{A'.BCC'B'}}}} = \dfrac{{{S_{GHC}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \dfrac{1}{4}\)\( \Rightarrow {V_{A'.GHC}} = \dfrac{1}{4}{V_{A'.BCC'B'}}\). Mà \({V_{A'.BCC'B'}} = \dfrac{2}{3}V\).
Suy ra \({V_1} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}{V_{ABCC'B'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{3}.V = \dfrac{V}{9}.\)
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
