Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right)

Câu hỏi số 389647:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = - {m^2}{x^5} - m{x^3} - \left( {{m^2} - m - 20} \right){x^2} + 2019\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng

A. \(5\).

B. \( - 4\).

C. \(1\).

D. \( - 1\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389647

Phương pháp giải

Xác định m để \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = - {m^2}{x^5} - m{x^3} - \left( {{m^2} - m - 20} \right){x^2} + 2019\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = - 5{m^2}{x^4} - 3m{x^2} - 2\left( {{m^2} - m - 20} \right)x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - x\left( {5{m^2}{x^3} + 3mx + 2{m^2} - 2m - 40} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - x.g\left( x \right)\end{array}\)

(với \(g\left( x \right) = 5{m^2}{x^3} + 3mx + 2{m^2} - 2m - 40\))

Nhận xét: Nếu \(g\left( x \right)\) không có nghiệm \(x = 0\) thì \(x = 0\) là nghiệm đơn của \(f'\left( x \right)\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu tại đây, khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow g\left( x \right)\) phải nhận \(x = 0\) là nghiệm \( \Rightarrow 0 + 0 + 2{m^2} - 2m - 40 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 5\end{array} \right.\)

Với \(m = - 4\) ta có: \(f'\left( x \right) = - x\left( {80{x^3} - 12x} \right) = - 4{x^2}\left( {20{x^2} - 3} \right)\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {\dfrac{3}{{20}}} \end{array} \right.\).

Nhận thấy: \(f'\left( x \right)\) đổi dấu tại \(x = \pm \sqrt {\dfrac{3}{{20}}} \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Với \(m = 5\)ta có: \(f'\left( x \right) = - x\left( {125{x^3} + 15x} \right)\)\( = - 5{x^2}\left( {25{x^2} + 3} \right) \le 0\,\,\,\forall x\) (chỉ bằng 0 tại \(x = 0\))

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (Thỏa mãn).

Vậy \(S = \left\{ 5 \right\}\) hay tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng 5.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.