Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương

Câu hỏi số 389722:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^6} + 3{x^4} - {m^3}{x^3} + 4{x^2} - mx + 2 \ge 0\) đúng với mọi \(x \in \left[ {1;3} \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng

A. \(4\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389722

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu để giải BPT.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^6} + 3{x^4} - {m^3}{x^3} + 4{x^2} - mx + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 3{x^4} + 4{x^2} + 2 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\\ \Leftrightarrow \left( {{x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\,\,\, \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó : (*) \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge mx \Leftrightarrow m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x},\,\,x \in \left[ {1;3} \right]\) có: \(g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 2.\)

Để \(m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le 2\).

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow S = \left\{ {1;2} \right\}.\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là \(1 + 2 = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.