Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(AB\). Mặt bên \(\left( {ACC'A'} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({45^0}\). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\): Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính chiều cao và diện tích đáy của lăng trụ.
- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ: \({V_{lt}} = {S_{day}}.h\) trong đó \({S_{day}}\) và \(h\) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ.
Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\).
Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(BE \bot AC\) và \(BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,\,{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Gọi \(F\) là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(F\) là trung điểm của \(AE\) ta có:
\(DF\parallel BE\) (do \(DF\) là đường trung bình của tam giác \(ABE\)), mà \(BE \bot AC\) nên \(DF \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot DF\\AC \bot A'D\,\,\,\left( {A'D \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AC \bot \left( {DFA'} \right)\) \( \Rightarrow AC \bot A'F\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {ACC'A'} \right) \supset A'F \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset DF \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'F;DF} \right)\).
\( \Rightarrow \angle DFA' = {45^0} \Rightarrow \Delta DFA'\) vuông cân tại \(D\).
\( \Rightarrow A'D = DF = \dfrac{1}{2}.BE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'D = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).
Chọn: B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
