Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(A\left(
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\), \(B\left( {9;6} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường thẳng \(\Delta \) để \(MA + MB\) nhỏ nhất. Giá trị của \(a + b\) là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+ Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(\Delta \)
+ Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác để xác định khoảng cách nhỏ nhất
+) Thay tọa độ điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {9;6} \right)\) vào đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\) ta được: \(2 - 1 + 1 = 2 > 0\)và \(9 - 6 + 1 = 4 > 0\) \( \Rightarrow \) Hai điểm \(A\left( {2;1} \right)\) và \(B\left( {9;6} \right)\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0\).
+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(\Delta \).
Xét \(\Delta :\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_\Delta } = \left( {1; - 1} \right);\,\,{\vec u_\Delta } = \left( {1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(A\left( {2;1} \right)\) vuông góc với \(\Delta \) (nhận \({\vec u_\Delta }\left( {1;1} \right)\) làm VTPT) là:
\(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow x - 2 + y - 1 = 0 \Rightarrow x + y - 3 = 0\)
Gọi \(H = \left( d \right) \cap \left( \Delta \right)\). Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2} \right)\)
Xác định tọa độ điểm \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\left( {2;1} \right)\) qua \(\left( \Delta \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{2 + {x_{A'}}}}{2}\\2 = \frac{{1 + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;3} \right)\)
+) Xét \(\Delta A'MB\) ta có: \(MA' + MB \ge A'B\) (bất đẳng thức tam giác)
\(\left. \begin{array}{l}A'\left( {0;3} \right)\\B\left( {9;6} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B = \sqrt {{{\left( {9 - 0} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} \)
+) Ta có: \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B = 3\sqrt {10} \)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(MA + MB = MA' + MB = A'B = 3\sqrt {10} \Leftrightarrow \)Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng
\( \Rightarrow \)\({\left( {MA + MB} \right)_{\min }} = 3\sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \) Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng và \(M \in \left( \Delta \right)\).
Điều kiện \(1\) : \(M \in \left( \Delta \right) \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Điều kiện \(2\): Ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng
\(\overrightarrow {A'\,\,B} = \left( {9;3} \right) \Rightarrow {\vec u_{_{A'B}}} = \left( {3;1} \right);\,\,{\vec n_{_{A'B}}} = \left( { - 1;3} \right)\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(A'B\) nhận \({\vec n_{_{A'B}}}\) làm VTPT là:
\( - 1.\left( {x - 0} \right) + 3.\left( {y - 3} \right) = 0\) \( \Rightarrow - x + 3y - 9 = 0\)
Vì ba điểm \(A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng nên \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \(A'B\) suy ra:
\( - a + 3b - 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ điều kiện \(1\) và điều kiện \(2\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + 1 = 0\\ - a + 3b - 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 7\)
Vậy \(a + b = 7\).
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
