Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 25 = 0\) và
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 25 = 0\) và điểm \(M\left( {2;1} \right)\). Dây cung của \(\left( C \right)\) đi qua \(M\left( {2;1} \right)\) có độ dài ngắn nhất là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+ Xác định tâm và bán kính của đường tròn
+ Áp dụng kiến thức: Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông; Trong một đường tròn, dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn; Đinhk lý Py-ta-go
+) Xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 25 = 0\), ta có:
- Tâm \(I\left( {1;2} \right)\)
- Bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 25} = \sqrt {30} \)
+) Giả sử, dây cung \(AB\) của đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(IM\), \(CD\) là dây cung tùy ý đi qua \(M\) và \(IH \bot CD\)
Xét \(\Delta IMH\) vuông tại \(H\) ta có: \(IM \ge IH\) (trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Xét đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\):
- \(IM\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến dây cung \(AB\)
- \(IH\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến dây cung \(CD\)
Vì \(IM \ge IH \Rightarrow AB \le CD\) (Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng lớn thì dây cung càng nhỏ)
\( \Rightarrow \) \(AB\) là dây cung đi qua \(M\) có độ dài ngắn nhất.
\(IM = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt 2 \)
Xét \(\Delta IMA\) vuông tại \(M\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
\(I{M^2} + M{A^2} = I{A^2} \Rightarrow MA = \sqrt {I{A^2} - I{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {30} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {30 - 2} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \)
Vì \(IM \bot AB\) tại \(M\) nên \(M\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow AB = 2MA = 2.2\sqrt 7 = 4\sqrt 7 \)
Vậy dây cung của \(\left( C \right)\) đi qua \(M\) có độ dài ngắn nhất bằng \(4\sqrt 7 .\)
Chọn B
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
