Chứng minh các phân số sau là phân số tối giản: a) \(A = \frac{{12n + 1}}{{30n +

Câu hỏi số 389983:

Vận dụng

Chứng minh các phân số sau là phân số tối giản:

a) \(A = \frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\) b) \(B = \frac{{14n + 17}}{{21n + 25}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389983

Phương pháp giải

Để chứng minh một phân số là phân số tối giản ta chỉ cần chứng minh Tử số và Mẫu số là hai số nguyên tố cùng nhau (Ước chung lớn nhất của tử và mẫu bằng \( \pm 1\)).

Giải chi tiết

a) \(A = \frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\)

Gọi \(d\) là ước chung của \(12n + 1\) và \(30n + 2\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}12n + 1\,\, \vdots \,\,d\\30n + 2\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\left( {12n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\2\left( {30n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}60n + 5\,\, \vdots \,\,d\\60n + 4\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {60n + 5} \right) - \left( {60n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

\( \Rightarrow 60n + 5 - 60n - 4\,\, \vdots \,\,d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in \left\{ { - 1;1} \right\}\end{array}\)

Do vậy \(12n + 1\) và \(30n + 2\) nguyên tố cùng nhau suy ra phân số \(A = \frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\) là phân số tối giản.

b) \(B = \frac{{14n + 17}}{{21n + 25}}\)

Gọi \(d\) là ước chung của \(14n + 17\) và \(30n + 2\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}14n + 17\,\, \vdots \,\,d\\21n + 25\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}42n + 51\,\, \vdots \,\,d\\42n + 50\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {42n + 51} \right) - \left( {42n + 50} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 42n + 51 - 42n - 50\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow \left( {42n - 42n} \right) + \left( {51 - 50} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in \left\{ { - 1;\,\,1} \right\}\end{array}\)

Suy ra, \(14n + 17\) và \(30n + 2\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy \(A = \frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\) là phân số tối giản.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link