Cho một hình vuông và \(13\) đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ

Câu hỏi số 390121:

Vận dụng cao

Cho một hình vuông và \(13\) đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích \(2\,\,:\,\,3\). Chứng minh rằng trong số \(13\) đường thẳng đã cho, có ít nhất bốn đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390121

Phương pháp giải

Gọi \(d\) là đường thẳng chia hình vuông thành \(2\) tứ giác với tỉ số diện tích đã cho. Tỉ số diện tích lớn hơn \(\frac{1}{2}\) nên đường thẳng \(d\) sẽ cắt đường trung bình của hình vuông đó. Đồng thời, đường thẳng \(d\) cũng chia đường trung bình theo đúng tỉ số đó.

\( \Rightarrow \) Xác định được \(4\) điểm chia hình vuông theo tỉ số đó

\( \Rightarrow \)Mỗi đường thẳng sẽ đi qua \(1\) trong \(4\) điểm

Giải chi tiết

Gọi \(d\) là đường thẳng chia hình vuông \(ABCD\) thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là \(2\,\,:\,\,3\).

Suy ra, đường thẳng \(d\) không thể cắt hai cạnh kề nhau của hình vuông

Giả sử, \(d\) cắt hai cạnh \(AB\) và \(CD\) tại \(M\) và \(N\), khi đó đường thẳng \(d\) cắt đường trung bình \(EF\) tại \(I\).

Giả sử, \({S_{AMND}} = \frac{2}{3}{S_{BMNC}}\) thì \(EI = \frac{2}{3}IF\)

Như vậy, mỗi đường thẳng đã cho chia các đường trung bình của hình vuông theo tỉ số \(2\,\,:\,\,3\).

Có \(4\) điểm chia các đường trung bình của hình vuông \(ABCD\) theo tỉ số \(\frac{2}{3}\).

Có \(13\) đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong \(4\) điểm.

Vậy theo nguyên lý Dirichle có ít nhất \(4\) đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link