Cho \(2019\) điểm trên mặt phẳng, biết rằng trong mỗi nhóm \(3\) điểm bất kì của các điểm

Câu hỏi số 390120:

Vận dụng cao

Cho \(2019\) điểm trên mặt phẳng, biết rằng trong mỗi nhóm \(3\) điểm bất kì của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách bé hơn \(1\). Chứng minh rằng trong các điểm trên có ít nhất \(1010\) điểm nằm trong một đường tròn có bán kính bằng \(1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390120

Phương pháp giải

Xét \(n\) điểm trên trên mặt phẳng:

+) Viết thành: \(n = 2k + 1\)

+) Gọi \(A\) là một điểm bất kì trong \(n\) điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm \(A\) với bán kính bằng \(1\).

+) Xét một điểm khác nằm ngoài đường tròn tâm \(A\) và cũng có bán kính bằng \(1\)

+) Chứng minh \(n\) điểm nằm trong \(1\) trong \(2\) đường tròn đó.

Giải chi tiết

Ta có: \(2019 = 2.1009 + 1\)

Gọi \(A\) là một điểm trên mặt phẳng trong \(2019\) điểm đã cho. Vẽ đường tròn tâm \(A\) bán kính \(1\).

+) Nếu tất cả \(2018\) điểm còn lại nằm trong hình tròn tâm \(A\) bán kính \(1\) thì ta có đpcm.

+) Giả sử có \(1\) điểm \(B\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {A;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow \) Khoảng cách từ \(B\) đến tâm \(A\) lớn hơn \(1\), hay \(AB > 1\).

\( \Rightarrow \) Ta vẽ được đường tròn tâm \(B\) bán kính \(1\)

Ta chứng minh \(2019\)điểm đã cho đều nằm trong \(\left( {A;\,\,1} \right)\) hoặc \(\left( {B;\,\,1} \right)\).

Thật vật, lấy điểm \(C\) bất kì, xếp ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) theo giả thuyết \(AB > 1\) nên \(AC < 1\) hoặc \(BC < 1\). Khi đó, \(C\) nằm trong đường tròn \(\left( {A;\,\,1} \right)\) hoặc \(\left( {B;\,\,1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \(2019\)điểm nằm trong \(\left( {A;\,\,1} \right)\) hoặc \(\left( {B;\,\,1} \right)\).

Theo nguyên tắc Dirichle, có \(1\) đường tròn chứa ít nhất \(1010\) điểm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link