Một bảng vuông gồm \(100 \times 100\) ô vuông đơn vị có cạnh bằng \(1cm\). Chọn ngẫu nhiên một

Câu hỏi số 390595:

Vận dụng cao

Một bảng vuông gồm \(100 \times 100\) ô vuông đơn vị có cạnh bằng \(1cm\). Chọn ngẫu nhiên một ô hình chữ nhật. Tính xác suất để ô được chọn là hình vuông có cạnh lớn hơn \(50cm\)(trong kết quả lấy 5 chữ số ở phần thập phân).

A. \(0,00169\)

B. \(0,00166\)

C. \(0,00168\)

D. \(0,00167\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Giả sử bảng ô vuông gồm \(100 \times 100\) ô vuông được xác định bởi các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 1\), …, \(x = 100\) và \(y = 0\), \(y = 1\), …, \(y = 100\) trong hệ tọa độ \(Oxy\).

- Chia các trường hợp:

TH1: Ô được chọn là hình vuông có kích thước \(51 \times 51\): Hình vuông này được tạo thành từ 4 đường thẳng \(x = a,\,\,x = a + 51\,\,\left( {0 \le a \le 49} \right)\) và \(y = c,\,\,y = c + 51\,\,\left( {0 \le c \le 49} \right)\).

TH2: Ô được chọn là hình vuông có kích thước \(52 \times 52\): Hình vuông này được tạo thành từ 4 đường thẳng \(x = a,\,\,x = a + 52\,\,\left( {0 \le a \le 48} \right)\) và \(y = c,\,\,y = c + 52\,\,\left( {0 \le c \le 48} \right)\).

…

TH50: Ô được chọn là hình vuông có kích thước \(100 \times 100\).

- Sử dụng công thức: \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\).

Giải chi tiết

Giả sử bảng ô vuông gồm \(100 \times 100\) ô vuông được xác định bởi các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 1\), …, \(x = 100\) và \(y = 0\), \(y = 1\), …, \(y = 100\) trong hệ tọa độ \(Oxy\).

Một hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đường thẳng khác nhau: \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {0 \le a,\,\,b \le 100} \right)\) và \(y = c,\,\,y = d\,\,\left( {0 \le c,\,\,d \le 100} \right)\).

Số cách chọn 2 đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(C_{101}^2\) cách.

Số cách chọn 2 đường thẳng \(y = c,\,\,y = d\) là \(C_{101}^2\) cách.

\( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = {\left( {C_{101}^2} \right)^2}\).

Gọi A là biến cố: “Ô được chọn là hình vuông có cạnh lớn hơn 50cm”.

TH1: Ô được chọn là hình vuông có kích thước \(51 \times 51\): Hình vuông này được tạo thành từ 4 đường thẳng \(x = a,\,\,x = a + 51\,\,\left( {0 \le a \le 49} \right)\) và \(y = c,\,\,y = c + 51\,\,\left( {0 \le c \le 49} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \({50^2}\) hình vuông.

TH2: Ô được chọn là hình vuông có kích thước \(52 \times 52\): Hình vuông này được tạo thành từ 4 đường thẳng \(x = a,\,\,x = a + 52\,\,\left( {0 \le a \le 48} \right)\) và \(y = c,\,\,y = c + 52\,\,\left( {0 \le c \le 48} \right)\).

\( \Rightarrow \) Có \({49^2}\) hình vuông.

TH3: Ô được chọn là hình vuông có kích thước \(53 \times 53\).

\( \Rightarrow \) Có \({48^2}\) hình vuông.

…

TH50: Ô được chọn là hình vuông có kích thước \(100 \times 100\).

\( \Rightarrow \) Có \({1^2}\) hình vuông.

\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = {50^2} + {49^2} + {48^2} + ... + {1^2}\).

Sử dụng công thức \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\) ta tính được:

\(\begin{array}{l}{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {50^2} = \dfrac{{50\left( {50 + 1} \right)\left( {2.50 + 1} \right)}}{6} = 42925\\ \Rightarrow n\left( A \right) = 42925\end{array}\)

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{42925}}{{{{\left( {C_{101}^2} \right)}^2}}} = \dfrac{{17}}{{10100}} \approx 0,00168\).

Xem lời giải

Câu hỏi:390595

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.