Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2\). Hỏi có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 390608:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} - 3.{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + 2\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} - 3{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + 2\\g'\left( x \right) = 3{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}.f'\left( x \right) - 6f\left( x \right).f'\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3f\left( x \right).f'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m} \right)\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 4} \right) \ge 0\,\,\forall x < 0\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + m \le 0\\\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2} \right)\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 4} \right) \le 0\end{array} \right.\,\,\forall x < 0\)

Trường hợp này vô nghiệm vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 4x + m} \right) = + \infty \) nên không thể đúng với mọi \(x < 0\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + m \ge 0\\\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2} \right)\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 4} \right) \ge 0\end{array} \right.\,\,\forall x < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + m \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2 \le 0\\\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2 \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\forall x < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + m \ge 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2 \le 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\,\forall x < 0\end{array}\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + mx + m - 2\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 4x + m \ge 0\,\,\forall x < 0\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) \le 0 \Leftrightarrow m - 2 \le 0 \Leftrightarrow m \le 2\).

Và

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge g\left( x \right) = - {x^2} + 4x\,\,\forall x < 0\\ \Leftrightarrow m \ge g\left( 0 \right) = 0\end{array}\)

Vậy \(0 \le m \le 2\), mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:390608

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.