Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \ln \left( {3 - \sqrt {{x^2} - 2x + m - 2} }

Câu hỏi số 390609:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \ln \left( {3 - \sqrt {{x^2} - 2x + m - 2} } \right)\) xác định trên \(\left[ {0;3} \right]\)?

A. \(4\)

B. Vô số

C. \(5\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Áp dụng điều kiện xác định của hàm logarit

Giải chi tiết

Hàm số \(y = \ln \left( {3 - \sqrt {{x^2} - 2x + m - 2} } \right)\) xác định trên \(\left[ {0;3} \right]\) khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + m - 2 \ge 0\\3 - \sqrt {{x^2} - 2x + m - 2} > 0\end{array} \right.\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\)\(\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + m - 2 \ge 0\\\sqrt {{x^2} - 2x + m - 2} < 3\end{array} \right.\,\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + m - 2 \ge 0\\{x^2} - 2x + m - 2 < 9\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 9 \ge - {x^2} + 2x + 11\,\,\,\left( 1 \right)\\m < - {x^2} + 2x + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 11\) trên \(\left[ {0;3} \right]\) ta có:

\(g'\left( x \right) = - 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m + 9 \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = 12 \Leftrightarrow m \ge 3\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow m < 8\).

Vậy \(3 \le m < 8\), mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6;7} \right\}\).

Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Xem lời giải

Câu hỏi:390609

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.