Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,\,\,N\)lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AD\). Mặt

Câu hỏi số 390610:

Vận dụng cao

Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,\,\,N\)lần lượt là trung điểm \(AB,\,\,AD\). Mặt phẳng \(\left( {C'MN} \right)\)chia khối lập phương thành 2 khối đa diện. Gọi \({V_1}\) là thể tích khối đa diện có thể tích nhỏ, \({V_2}\) là thể tích khối đa diện có thể tích lớn. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?

A. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\)

B. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{13}}{{23}}\)

C. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{3}\)

D. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Áp dụng tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có:

\(\begin{array}{l}MN \cap CD = \left\{ E \right\} \Rightarrow E \in \left( {C'MN} \right)\\MN \cap BC = \left\{ F \right\} \Rightarrow F \in \left( {C'MN} \right)\end{array}\)

Trong mặt phẳng \(\left( {CDD'C'} \right)\) có : \(EC' \cap DD' = \left\{ H \right\} \Rightarrow H \in \left( {C'MN} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) có: \(FC' \cap BB' = \left\{ G \right\} \Rightarrow G \in \left( {C'MN} \right)\)

Vậy \(\left( {C'MN} \right) \equiv \left( {C'HNMG} \right)\).

Gọi cạnh hình lập phương là \(a\), ta có:

\(\Delta AMN = \Delta DEN\,\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AM = ED = \dfrac{a}{2}\)

Theo định lý Talet: \(\dfrac{{ED}}{{EC}} = \dfrac{{DH}}{{CC'}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow DH = \dfrac{a}{3}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có: \(BG = FB = \dfrac{a}{3}\)

Suy ra: \({V_{FMBG}} = {V_{NEDH}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{{72}}\); \({V_{FECC'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.a = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\)

V₁ là thể tích của phần chứa điểm C và V₂ là phần còn lại.

\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{F.ECC'}} - {V_{F.MBG}} - {V_{N.DEH}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{a^3}}}{8} - 2.\dfrac{{{a^3}}}{{72}} = \dfrac{{25{a^3}}}{{72}}\\ \Rightarrow {V_2} = {a^3} - \dfrac{{25{a^3}}}{{72}} = \dfrac{{47{a^3}}}{{72}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\end{array}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:390610

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.