Cho đường tròn tâm \(\left( O \right)\) với dây \(AB\) cố định không phải đường kính.
Cho đường tròn tâm \(\left( O \right)\) với dây \(AB\) cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp.
b) Chứng minh \(MK.MN = MI.MC\).
c) Chứng minh tam giác AKI cân tại K.
Quảng cáo
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh các tam giác đồng dạng rồi suy ra các tỉ lệ và đẳng thức tương ứng.
c) Góc có đỉnh nằm trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp.
Ta có: \(\angle ABN = \angle NMC\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
\( \Rightarrow HBI = \angle HMI \Rightarrow \) Tứ giác \(BMHI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Chứng minh \(MK.MN = MI.MC\).
Ta có: \(\angle MNB = \angle ACM\) (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle MNI = \angle MCK\).
Xét tam giác \(MIN\) và tam giác \(MKC\) có :
\(\begin{array}{l}\angle NMC\,\,\,\,chung\\\angle MNI = \angle MCK\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MIN \sim \Delta MKC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{MI}}{{MN}} = \frac{{MK}}{{MC}} \Rightarrow MK.MN = MI.MC\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
c) Chứng minh tam giác AKI cân tại K.
Ta có : \(\angle MNI = \angle MCK\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \) Tứ giác \(NCIK\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
\( \Rightarrow \angle HKI = \angle NCI = \angle NCM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Ta có \(\angle NMC = \frac{{sdcungMN}}{2}\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).
\(\angle AHN = \frac{{sdcungAN + sdcungBM}}{2} = \frac{{sdcungAN + sdcungAM}}{2} = \frac{{sdcungMN}}{2}\) (góc có đỉnh bên trong đường tròn).
\( \Rightarrow \angle NCM = \angle AHK \Rightarrow \angle HKI = \angle AHK\).
Mà 2 góc này ở vị trí 2 góc so le trong \( \Rightarrow AH//KI\).
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(\angle AKH = \angle KHI\).
Mà 2 góc này ở vị trí 2 góc so le trong \( \Rightarrow AK//HI\).
Xét tứ giác \(AHIK\) có : \(\left\{ \begin{array}{l}AH//KI\\AK//HI\end{array} \right. \Rightarrow \) Tứ giác \(AHIK\) là hình bình hành (1) (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song).
Tứ giác \(BMHI\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle MHB = \angle MIB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB).
Tứ giác \(NCIK\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle NKC = \angle KIC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NC).
Mà \(\angle MIB = \angle NIC\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle MHB = \angle NKI\).
\(\angle AHK = \angle AKH\) (do \(\angle MHB = \angle AHK;\,\,\angle NKC = \angle AKH\) đối đỉnh).
\( \Rightarrow \Delta AHK\) cân tại \(H \Rightarrow AH = AK\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(AHIK\) là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).
\( \Rightarrow KA = KI\) (các cạnh của hình thoi).
Vậy tam giác AKI cân tại K (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
