Cho \(a,b,c,d\) là các số thực khác 0. Biết \(c\) và \(d\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} +

Câu hỏi số 390968:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c,d\) là các số thực khác 0. Biết \(c\) và \(d\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) với \(a,\,\,b\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(S = a + b + c + d\).

A. \(S = - 2\)

B. \(S = 0\)

C. \(S = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)

D. \(S = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390968

Giải chi tiết

Vì \(c,\,\,d\) là 2 nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(c + d = - a\).

Vì \(a,\,\,b\) là 2 nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(a + b = - c\).

\( \Rightarrow \) Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}c + d = - a\\a + b = - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = - d\\a + c = - b\end{array} \right. \Leftrightarrow b = d\).

Do \(c\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) nên \({c^2} + ac + b = 0\) (1)

Do \(a\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\) nên \({a^2} + ca + d = 0\) (2)

Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được : \({c^2} - {a^2} + b - d = 0 \Leftrightarrow {c^2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = c\\a = - c\end{array} \right.\)

TH1 : \(a = - c \Rightarrow c + d = - a = c \Leftrightarrow d = 0\) (loại)

TH2: \(a = c \Rightarrow c + d = - a = - c \Leftrightarrow 2c = - d = - b\)

Thay vào (1) ta có : \({c^2} + c = 2c \Leftrightarrow {c^2} - c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\c = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Khi \(c = 1 \Rightarrow a = c = 1,\,\,b = d = - 2c = - 2 \Rightarrow S = a + b + c + d = 1 - 2 + 1 - 2 = - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link