Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm m

Câu hỏi số 390967:

Vận dụng cao

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm m để biểu thức \(P = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(m = \frac{1}{2}\)

B. \(m = 1\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = \frac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390967

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm.

+) Khi phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

+) Xét \(P - 1\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\) do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2\)

Khi đó \(P = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \frac{{2m - 2 + 3}}{{{m^2} - 2m + 2 + 2\left( {m - 1 + 1} \right)}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\)

Xét \(P - 1 = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} - 1 = \frac{{2m + 1 - {m^2} - 2}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{ - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 2}} = - \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow P \le 1\,\,\forall m \in \mathbb{R}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link