Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 391279:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = x_1^2 + x_2^2.\)

A. \({A_{\min }} = 3\)

B. \({A_{\min }} = 1\)

C. \({A_{\min }} = 2\)

D. \({A_{\min }} = 4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391279

Phương pháp giải

+) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0,\forall m\).

+) Sử dụng định lý Vi-et, đưa \(A\) về biểu thức ẩn \(m\). Tìm GTNN của \(A\) và kết luận.

Giải chi tiết

\({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 4 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {2m - 4} \right) = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 4 = {m^2} - 4m + 5\)

\( = \left( {{m^2} - 4m + 4} \right) + 1 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Theo định lý Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 4\end{array} \right.\).

Theo đề bài ta có: \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {2m - 4} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 - 4m + 8\\\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 12m + 12 = 4{m^2} - 2.2m.3 + {3^2} + 3\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {2m - 3} \right)^2} + 3.\end{array}\)

Ta có:\({\left( {2m - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m \Rightarrow A = {\left( {2m - 3} \right)^2} + 3 \ge 3\,\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow A \ge 3\).

Dấu “=” xảy ra khi \(2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\).

Vậy \({A_{\min }} = 3\) khi \(m = \frac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link