Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng

Câu hỏi số 391280:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\,y = 2x + 4{m^2} - 8m + 3\) (\(m\) là tham số thực). Tìm các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({y_1} + {y_2} = 10.\)

A. \(m = 0\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\)

C. \(m = - 2\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391280

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\left( 1 \right)\) của hai đồ thị hàm số \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right).\)

Tìm điều kiện của \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)

Từ đó suy ra tọa độ của hai giao điểm của hai đồ thị hàm số theo \({x_1},\,\,{x_2}.\)

Áp dụng định lý Vi-et với phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Từ đó tìm điều kiện của \(m\) để \({y_1} + {y_2} = 10\) và đối chiếu với điều kiện rồi kết luận \(m.\)

Giải chi tiết

\(\left( P \right):\,\,y = {x^2};\,\,\left( d \right):\,\,y = 2x + 4{m^2} - 8m + 3\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là : \({x^2} - 2x - 4{m^2} + 8m - 3 = 0\) (1)

Số giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cũng chính là số nghiệm của phương trình (1).

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\).

Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} + 4{m^2} - 8m + 3 = \,\,4{m^2} - 8m + 4 = \,\,4{\left( {m - 1} \right)^2}\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\) \( \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - 4{m^2} + 8m - 3\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 10 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {2^2} - 2.\left( { - 4{m^2} + 8m - 3} \right) = 10 \Leftrightarrow 4 + 8{m^2} - 16m + 6 = 10\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 16m = 0 \Leftrightarrow 8m\left( {m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\left( {tm} \right)\\m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m = 0;\,\,m = 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link