Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \); \(H\) là hình
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(SA\) bằng \(\dfrac{a}{{\sqrt 7 }}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\). Khi đó, \(\tan \dfrac{\alpha }{2}\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy của hình chóp đều là tâm của đáy.
- Tìm góc tạo bởi giữa mặt đáy và mặt bên.
- Tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
- Sử dụng giả thiết khoảng cách từ \(H\) đến \(SA\) bằng \(\dfrac{a}{{\sqrt 7 }}\) để tìm các cạnh của hình chóp và giải bài toán.
Vì \(S.ABC\)là hình chóp đều nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA = SB = SC\\AB = AC = BC\end{array} \right.\) và \(H\) là tâm của mặt đáy \(ABC\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(AM \bot BC\) và \(AH = \dfrac{2}{3}AM\).
Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SM \bot BC\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} = \widehat {SMA} \Rightarrow \widehat {SMA} = 60^\circ \)
Qua \(H,\) kẻ \(HI \bot SA\,\left( {I \in SA} \right)\), từ giả thiết suy ra \(HI = \dfrac{a}{{\sqrt 7 }}\)
Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) nên \(\tan SMH = \dfrac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{HM}} = \sqrt 3 \Rightarrow SH = \sqrt 3 HM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AH\)
Tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\) có \(HI \bot SA\) nên ta có:
\(\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{7}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}A{H^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{7}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3A{H^2}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\\SH = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\)
Qua \(A,\) kẻ \(AK \bot SB\left( {K \in SB} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AC \bot \left( {SBH} \right) \Rightarrow AC \bot SB\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(SB \bot \left( {AKC} \right) \Rightarrow SB \bot KC\).
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cũng là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) và là góc giữa hai đường thẳng \(AK\) và \(KC\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}SA = SB = SC = \sqrt {A{H^2} + S{H^2}} = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{6}\\AB = AC = BC = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}AM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{3}{2}AH = a\end{array}\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}{a^2} \Rightarrow AK = KC = \dfrac{{2{S_{\Delta SAB}}}}{{SB}} = \dfrac{{2\sqrt 7 a}}{7}\)
Do đó, \(\cos AKC = \dfrac{{A{K^2} + K{C^2} - A{C^2}}}{{2AK.KC}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{1}{8}\)
Suy ra \(\tan \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
