Cho tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là

Câu hỏi số 392493:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) ngoại tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là tiếp điểm trên các cạnh \(BC\), \(AB\), \(AC\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(D\) đến \(EF.\) Chứng minh rằng \(\widehat {BHE} = \widehat {CHF}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:392493

Phương pháp giải

- Kẻ \(BI,\,\,CK\) vuông góc với \(EF.\)

- Chứng minh hai tam giác \(\Delta BHI\)và \(\Delta CHK\)đồng dạng với nhau theo TH c.g.c.

Giải chi tiết

Kẻ \(BI,\,\,CK\) vuông góc với \(EF.\)

Ta có: \(AE = AF\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {AFE} \Rightarrow \widehat {BEI} = \widehat {CFK}.\)

Mà \(\widehat {BIE} = \widehat {CKF} = {90^0}\), suy ra \(\Delta BEI \sim \Delta CFK\,\,\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{CK}} = \dfrac{{BE}}{{CF}}\).

Lại có \(BE = BD,\,\,CF = CD\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

\(\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{{HI}}{{HK}}\) (định lý Thales trong hình thang \(BIKC\)).

Do đó: \(\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{BI}}{{CK}} = \dfrac{{HI}}{{HK}}.\) Mà \(\widehat {BIH} = \widehat {CKH} = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta BHI \sim \Delta CHK\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {BHE} = \widehat {CHF}\) (hai góc tương ứng).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link