Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {xy + x + y}

Câu hỏi số 393775:

Vận dụng

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( {xy + x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = 30.\)

A. \(\left( {3;2} \right);\left( {2;3} \right)\)

B. \(\left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right)\)

C. \(\left( {1;3} \right);\left( {3;1} \right)\)

D. \(\left( {3;4} \right);\left( {4;3} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393775

Phương pháp giải

Phương pháp ước số.

Giải chi tiết

Vì \(x,y\) nguyên dương và \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\) không thỏa mãn phương trình nên \({x^2} + {y^2} + 1 > 3;\,\,\,xy + x + y > 3.\)

\( \Rightarrow xy + x + y = \frac{{30}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} < 10\)

Suy ra \(xy + x + y\) là ước nguyên dương lớn hơn 3 và nhỏ hơn 10 của 30

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}xy + x + y = 5\\xy + x + y = 6\end{array} \right..\)

+) Nếu \(xy + x + y = 5 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 6\) ta được các trường hợp:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\y + 1 = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\y + 1 = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Nếu \(xy + x + y = 6 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 7\), không có nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Vậy các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( {1;2} \right);\left( {2;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link