Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(\sqrt {12{n^2} + 1} \) là số nguyên. Chứng minh rằng: \(2\sqrt

Câu hỏi số 393776:

Vận dụng

Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(\sqrt {12{n^2} + 1} \) là số nguyên. Chứng minh rằng: \(2\sqrt {12{n^2} + 1} + 2\) là số chính phương

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393776

Phương pháp giải

Số chính phương khi chia cho 3 không thể dư 2.

Giải chi tiết

Vì \(12{n^2} + 1\) là số lẻ với mọi \(n\) nên để \(\sqrt {12{n^2} + 1} \) là số nguyên thì \(12{n^2} + 1 = {\left( {2m + 1} \right)^2},m \in \mathbb{N}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 12{n^2} + 1 = 4{m^2} + 4m + 1\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) = 3{n^2}\end{array}\)

Vì \(\left( {m;m + 1} \right) = 1\) nên xảy ra hai trường hợp: \(\left[ \begin{array}{l}m = 3{u^2};m + 1 = {v^2}\\m = {v^2};m + 1 = 3{u^2}\end{array} \right.,u,v \in \mathbb{N}*\).

+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}m = {v^2}\\m + 1 = 3{u^2}\end{array} \right.\) thì \({v^2} = 3{u^2} - 1\) hay \({v^2}\) là số chính phương chia \(3\) dư 2.

Điều này không xảy ra vì mọi số chính phương chia \(3\) dư là 0 hoặc 1.

\( \Rightarrow \) Do đó chỉ xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3{u^2}\\m + 1 = {v^2}\end{array} \right..\)

Ta có: \(2\sqrt {12{n^2} + 1} + 2 = 2\left( {2m + 1} \right) + 2 = 4m + 4 = 4{v^2} = {\left( {2v} \right)^2}\) là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link