Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Câu hỏi số 393774:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} - 6x + 25} + \sqrt {{y^2} - 6y + 25} + \sqrt {{z^2} - 6z + 25} .\)

A. \(\max M = 12\,\,;\,\,\,\min M = 5\sqrt 5 \)

B. \(\max M = 12\,\,;\,\,\,\min M = 6\sqrt 5 \)

C. \(\max M = 14\,\,;\,\,\,\min M = 5\sqrt 5 \)

D. \(\max M = 14\,\,;\,\,\,\min M = 6\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393774

Phương pháp giải

Phương pháp UCT (hệ số bất định) trong bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Từ giả thiết suy ra \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 3.\)

Tìm GTLN:

Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le \frac{{15 - x}}{3}\) với \(0 \le x \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le 15 - x\\ \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \le {x^2} - 30x + 225\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 24x \le 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 8x\left( {x - 3} \right) \le 0\), luôn đúng với mọi \(0 \le x \le 3\).

Tương tự: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \le \frac{{15 - y}}{3}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \le \frac{{15 - z}}{3}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)

Do đó, \(M \le \frac{{15 - x + 15 - y + 15 - z}}{3} = \frac{{45 - 3}}{3} = 14\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x;y;\,\,z} \right) = \left( {3;0;\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)

Tìm GTNN:

Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \ge \frac{{11 - x}}{{\sqrt 5 }}\) với \(0 \le x \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)} \ge 11 - x\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \ge {x^2} - 22x + 121\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\) luôn đúng với \(0 \le x \le 3\).

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \ge \frac{{11 - y}}{{\sqrt 5 }}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \ge \frac{{11 - z}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)

Do đó, \(M \ge \frac{{11 - x + 11 - y + 11 - z}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{33 - 3}}{{\sqrt 5 }} = 6\sqrt 5 \).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1.\)

Vậy GTLN của \(M\) là \(14\) đạt được khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;0;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;3;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;3} \right)\)và GTNN của \(M\)là \(6\sqrt 5 \) đạt được khi \(x = y = z = 1.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link