Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Câu hỏi số 393774:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \sqrt {{x^2} - 6x + 25} + \sqrt {{y^2} - 6y + 25} + \sqrt {{z^2} - 6z + 25} .\)

A. \(\max M = 12\,\,;\,\,\,\min M = 5\sqrt 5 \)

B. \(\max M = 12\,\,;\,\,\,\min M = 6\sqrt 5 \)

C. \(\max M = 14\,\,;\,\,\,\min M = 5\sqrt 5 \)

D. \(\max M = 14\,\,;\,\,\,\min M = 6\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393774

Phương pháp giải

Phương pháp UCT (hệ số bất định) trong bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Từ giả thiết suy ra \(0 \le x,\,\,y,\,\,z \le 3.\)

Tìm GTLN:

Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le \frac{{15 - x}}{3}\) với \(0 \le x \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \le 15 - x\\ \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \le {x^2} - 30x + 225\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 24x \le 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 8x\left( {x - 3} \right) \le 0\), luôn đúng với mọi \(0 \le x \le 3\).

Tương tự: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \le \frac{{15 - y}}{3}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \le \frac{{15 - z}}{3}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)

Do đó, \(M \le \frac{{15 - x + 15 - y + 15 - z}}{3} = \frac{{45 - 3}}{3} = 14\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x;y;\,\,z} \right) = \left( {3;0;\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)\\\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)

Tìm GTNN:

Ta chứng minh: \(\sqrt {{x^2} - 6x + 25} \ge \frac{{11 - x}}{{\sqrt 5 }}\) với \(0 \le x \le 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right)} \ge 11 - x\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} - 6x + 25} \right) \ge {x^2} - 22x + 121\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\) luôn đúng với \(0 \le x \le 3\).

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{y^2} - 6y + 25} \ge \frac{{11 - y}}{{\sqrt 5 }}\\\sqrt {{z^2} - 6z + 25} \ge \frac{{11 - z}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\) với \(\forall y,z:0 \le y,z \le 3\)

Do đó, \(M \ge \frac{{11 - x + 11 - y + 11 - z}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{33 - 3}}{{\sqrt 5 }} = 6\sqrt 5 \).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = 1.\)

Vậy GTLN của \(M\) là \(14\) đạt được khi \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;0;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;3;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;3} \right)\)và GTNN của \(M\)là \(6\sqrt 5 \) đạt được khi \(x = y = z = 1.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link