Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O1 và O2 dao động cùng pha, cùng

Câu hỏi số 393865:

Vận dụng cao

Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O₁ và O₂ dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ trục tọa độ vuông góc xOy thuộc mặt nước với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn O₁ còn nguồn O₂ nằm trên trục Oy. Hai điểm P và Q nằm trêm Ox có OP = 9 cm và OQ = 16 cm. Dịch chuyển nguồn O₂ trên trục Oy đến vị trí sao cho góc \(\widehat {P{O_2}Q}\) có giá trị lớn nhất thì phần tử nước tại P không dao động còn phần tử nước tại Q dao động với biên độ cực đại. Biết giữa P và Q không còn cực đại nào khác. Trên OP, điểm gần P nhất mà các phần tử nước dao động với biên độ cực đại cách P một đoạn là

A. 4 cm

B. 2 cm

C. 5 cm

D. 1 cm

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393865

Phương pháp giải

Công thức lượng giác: \(\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)

Bất đẳng thức Cô – si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Điều kiện cực đại giao thoa: \({d_2} - {d_1} = k\lambda \)

Điều kiện cực tiểu giao thoa: \({d_2} - {d_1} = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \)

Giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {P{O_2}Q} = {\varphi _2} - {\varphi _1}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \widehat {P{O_2}Q} = \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{\tan {\varphi _2} - \tan {\varphi _1}}}{{1 + \tan {\varphi _2}.\tan {\varphi _1}}}\\ \Rightarrow \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{\dfrac{{{O_1}Q}}{{{O_1}{O_2}}} - \dfrac{{{O_1}P}}{{{O_1}{O_2}}}}}{{1 + \dfrac{{{O_1}Q}}{{{O_1}{O_2}}}.\dfrac{{{O_1}P}}{{{O_1}{O_2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{O_1}Q}}{a} - \dfrac{{{O_1}P}}{a}}}{{1 + \dfrac{{{O_1}Q}}{a}.\dfrac{{{O_1}P}}{a}}}\\ \Rightarrow \tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right) = \dfrac{{{O_1}Q - {O_1}P}}{{a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}}} = \dfrac{{const}}{{a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}}}\end{array}\)

Để \(\tan \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)\max \Leftrightarrow \left( {a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \right)\min \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\(\begin{array}{l}a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \\ \Rightarrow \left( {a + \dfrac{{{O_1}Q.{O_1}P}}{a}} \right)\min = 2\sqrt {{O_1}Q.{O_1}P} \end{array}\)

(Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = \sqrt {{O_1}Q.{O_1}P} = \sqrt {9.16} = 12\,\,\left( {cm} \right)\))

Ta có: \({O_2}P = \sqrt {{a^2} + {O_1}{P^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15\,\,\left( {cm} \right)\)

\({O_2}Q = \sqrt {{a^2} + {O_1}{Q^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = 20\,\,\left( {cm} \right)\)

Điểm P không dao động, ta có: \(P{O_2} - P{O_1} = 15 - 9 = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \)

Điểm Q dao động với biên độ cực đại: \(Q{O_2} - Q{O_1} = 20 - 16 = k\lambda \)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}6 = \left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)\lambda \\4 = k\lambda \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\\lambda = 4\,\,\left( {cm} \right)\end{array} \right.\)

→ Q là cực đại bậc 1, giữa P và Q không có cực đại nào khác

Trên OP, gọi N là điểm gần nhất dao động với biên độ cực đại

→ N là cực đại bậc 2 ứng với k = 2, ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {O{N^2} + {a^2}} - ON = 2\lambda \\ \Rightarrow \sqrt {O{N^2} + {{12}^2}} - ON = 2.4 \Rightarrow ON = 5\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow PN = {O_1}P - ON = 9 - 5 = 4\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.