Số nghiệm nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) của bất phương trình \({2^{2x + 1}} -

Câu hỏi số 395088:

Vận dụng cao

Số nghiệm nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) của bất phương trình \({2^{2x + 1}} - {9.2^x} + 4\sqrt {{x^2} + 2x - 3} \ge 0\) là:

A. \(38\).

B. \(36\).

C. \(37\).

D. \(19\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395088

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \({x^2} + 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 3\end{array} \right.\)

Xét phương trình \({2^{2x + 1}} - {9.2^x} + 4\sqrt {{x^2} + 2x - 3} \ge 0\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(f\left( x \right) = {2^{2x + 1}} - {9.2^x} + 4\sqrt {{x^2} + 2x - 3} \)

\(f'\left( x \right) = 4\ln {2.2^{2x}} - 9\ln {2.2^x} + \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }}\)

Nhận xét:

+) \(x = 1\) : không thỏa mãn BPT (*)

+) Với \(x \ge 2\), ta có: \(\dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} \ge 0,\)\(4\ln {2.2^{2x}} - 9\ln {2.2^x} = {4.2^x}\ln 2.\left( {{2^x} - \dfrac{9}{4}} \right) > 0\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \ge 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 2 \right),\,\,\forall x \ge 2 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 4.\sqrt 5 - 4 > 0\)\(,\,\,\forall x \ge 2\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) đúng với mọi \(x \ge 2\)

Mà \(x \in \mathbb{Z},x \in \left[ { - 20;20} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;...;20} \right\}\): 19 giá trị

+) \(x = - 3\) : không thỏa mãn BPT (*)

+) Với \(x \le - 4\), ta có: \(\dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x - 3} }} < 0,\)\(4\ln {2.2^{2x}} - 9\ln {2.2^x} = {4.2^x}\ln 2.\left( {{2^x} - \dfrac{9}{4}} \right) < 0\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \le - 4\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( { - 4} \right),\,\,\forall x \le - 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 4\sqrt 5 - \dfrac{{71}}{{128}} > 0,\,\,\forall x \le - 4\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) đúng với mọi \(x \le - 4\)

Mà \(x \in \mathbb{Z},x \in \left[ { - 20;20} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - 20; - 19;...; - 4} \right\}\): 17 giá trị

Vậy, BPT đã cho có tất cả 36 nghiệm nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.