Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right),B\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 395093:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right),B\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395093

Giải chi tiết

M là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông \( \Rightarrow \)M thuộc giao tuyến của mặt cầu (S) đường kính AB với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Tâm mặt cầu (S) là trung điểm của AB và có tọa độ: \(I\left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\)

Bán kính mặt cầu: \(R = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\)

\(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{ - 1}}{2} + 2.0 - \left( { - 1} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3 < R\) \( \Rightarrow \) Giao tuyến của (S) với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là một đường tròn.

*) Xác định tâm J của đường tròn giao tuyến:

Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc \(\left( \alpha \right)\), d có PTTS là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2} + 2t\\y = 2t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\)

Tâm J của đường tròn giao tuyến chính là giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\).

Giả sử \(J\left( { - \dfrac{1}{2} + 2t;2t; - 1 - t} \right)\), mà \(J \in \left( \alpha \right)\)

\( \Rightarrow 2\left( { - \dfrac{1}{2} + 2t} \right) + 2.2t - \left( { - 1 - t} \right) + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)

\( \Rightarrow J\left( { - \dfrac{5}{2}; - 2;0} \right)\)

Ta thấy: \(B\left( { - 2; - 2;1} \right) \in \)\(\left( \alpha \right):2x + 2y - z + 9 = 0\)

Do đó, để MB đạt giá trị lớn nhất và bằng đường kính của đường tròn giao tuyến thì M là điểm đối xứng của B qua J. Khi đó, đường thẳng MB trùng với đường thẳng BJ, (với \(\overrightarrow {BJ} = \left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\)), có PT: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.