Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đường phân giác trong \(AD\) và đường cao \(CH\)

Câu hỏi số 395210:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đường phân giác trong \(AD\) và đường cao \(CH\) lần lượt có phương trình \(x + y - 2 = 0,\) \(x - 2y + 5 = 0\). Điểm \(M\left( {3;\,\,0} \right)\) thuộc \(AC\) thỏa mãn \(AB = 2AM\). Tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\) lần lượt là:

A. \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)

B. \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\,3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)

C. \(A\left( {1;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)

D. \(A\left( { - 1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\, - \,2} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395210

Phương pháp giải

+) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AD\)\( \Rightarrow E \in AB\)

+) Có \(CH\) là đường cao, viết được phương trình cạnh \(AB.\) Xác định tọa độ đỉnh \(A\). Từ đó, xác địnhh được tọa độ đỉnh \(B,\,\,C.\)

Giải chi tiết

+) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AD\)\( \Rightarrow E \in AB\) và \(E\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

+) Phương trình đường cao \(\left( {CH} \right):\,\,x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow {\vec n_{CH}} = \left( {1;\,\, - 2} \right) \Rightarrow {\vec u_{CH}} = \left( {2;\,\,1} \right)\)

+) Phương trình cạnh \(\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,E\left( {2;\,\, - 1} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = {{\vec u}_{CH}} = \left( {2;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow AB:\,\,\,2\left( {x - 2} \right) + y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 4 + y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\)

+) \(A = AB \cap AD\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\2x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right)\)

+) Gọi \(B\left( {t;\,\,3 - 2t} \right);\,\,A\left( {1;\,\,1} \right);\,\,M\left( {3;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2}} \) và \(AM = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 \)

Theo đề bài, \(AB = 2AM\)\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 4{{\left( {t - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow \sqrt 5 .\left| {t - 1} \right| = 2\sqrt 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 2\\t - 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B\left( {3;\,\, - 3} \right)\) hoặc \(B\left( { - 1;\,\,5} \right)\)

Mặt khác, \(AB = 2AM\)\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow B\left( {3;\,\, - 3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(M\left( {3;\,\,0} \right)\) là:

\(AC:\,\,\,\frac{{x - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{0 - 1}} \Leftrightarrow x - 1 + 2y - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0.\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 3 = 0\\x - 2y + 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)

Vậy \(A\left( {1;\,\,1} \right),\,\,B\left( {3;\,\, - 3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right).\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.