Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,x - 4y

Câu hỏi số 396045:

Vận dụng

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,x - 4y - 2 = 0\), cạnh \(BC\) song song với \(d\). Phương trình đường cao \(BH:\,\,x + y + 3 = 0\) và \(M\left( {1;\,\,1} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tọa độ trọng tâm của tam giác \(ABC\) là:

A. \(\left( {\frac{2}{3};\,\, - 1} \right)\)

B. \(\left( { - \frac{2}{3};\,\, - 1} \right)\)

C. \(\left( {\frac{2}{3};\,\,1} \right)\)

D. \(\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396045

Phương pháp giải

+ \(A = AC \cap d\)

+ \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\)

+ \(B = BH \cap BC\)

+ Xác định tọa độ trọng tâm \(G\) theo CT: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

*) Xác định tọa độ đỉnh \(A\)

+) Lập phương trình cạnh \(AC\)

\(\left( {AC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,M\left( {1;\,\,1} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = {{\vec u}_{BH}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 1.\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 1 - y + 1 = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)

Vì \(A = AC \cap d\) nên tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}x - 4y - 2 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4y = 2\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{{ - 2}}{3};\,\,\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\)

*) \(A\left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{2}{3}} \right);\,\,M\left( {1;\,\,1} \right);\,C\left( {{x_C};\,\,{y_C}} \right)\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{ - \frac{2}{3} + {x_C}}}{2}\\1 = \frac{{ - \frac{2}{3} + {y_C}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = - \frac{2}{3} + {x_C}\\2 = - \frac{2}{3} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = \frac{8}{3}\\{y_C} = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right)\)

*) Lập phương trình cạnh \(BC\)

\(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,C\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right)\\{{\vec n}_{BC}} = {{\vec n}_d} = \left( {1;\,\, - 4} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 1.\left( {x - \frac{8}{3}} \right) - 4.\left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - \frac{8}{3} - 4y + \frac{{32}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3x - 12y + 24 = 0\)

Vì \(B = BH \cap BC\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 12y + 24 = 0\\x + y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 12y = - 24\\x + y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;\,\,1} \right)\)

*) Xác định tọa độ trọng tâm \(G\left( {{x_G};\,\,{y_G}} \right)\):

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - \frac{2}{3} + \left( { - 4} \right) + \frac{8}{3}}}{3}\\{y_G} = \frac{{ - \frac{2}{3} + 1 + \frac{8}{3}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = - \frac{2}{3}\\{y_G} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right)\)

Vậy \(G\left( { - \frac{2}{3};\,\,1} \right).\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.