Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(M\) là điểm trên cạnh \(AA'\)

Câu hỏi số 396261:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(M\) là điểm trên cạnh \(AA'\) sao cho \(AM = \dfrac{{3a}}{4}\). Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MBC} \right)\) là:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(2\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396261

Phương pháp giải

Diện tích hình chiếu của một đa giác: Cho đa giác H thuộc \(\left( \alpha \right)\). Gọi đa giác H’ là hình chiếu của đa giác H lên \(\left( \beta \right)\); \(\varphi \)= là góc giữa \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Khi đó : \({S_{\left( {H'} \right)}} = {\rm{cos}}\alpha {\rm{. }}{{\rm{S}}_{\left( H \right)}}\)

Giải chi tiết

Gọi \(\varphi \) là góc giữa mp(ABC) và mp(MBC).

Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác MBC lên (ABC) \( \Rightarrow {\rm{cos}}\varphi = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MBC}}}}\)

Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Tam giác MBC cân tại M có: \(MB = MC = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{3{\rm{a}}}}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{5{\rm{a}}}}{4}\)

Gọi I là trung điểm của BC \( \Rightarrow MI = \sqrt {M{B^2} - {{\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{5{\rm{a}}}}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{4}\)

\( \Rightarrow {S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}.MI.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {21} }}{4}.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt {21} }}{8}\)\(y = 4\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\varphi = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MBC}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {21} }}{8}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 7 }}\)\( \Rightarrow {\tan ^2}\varphi = \dfrac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\varphi }} - 1 = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.