Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu đoạn

Câu hỏi số 396463:

Vận dụng cao

Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch \(AB\) chứa biến trở, cuộn dây và tụ điện. Điều chỉnh \(R\) đến giá trị \(80\,\,\Omega \) thì công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại, đồng thời tổng trở của đoạn mạch AB là số nguyên nhỏ nhất và chia hết cho \(40\). Khi đó, hệ số công suất của đoạn mạch \(AB\) có giá trị là

A. \(0,25\).

B. \(0,125\).

C. \(0,75\).

D. \(0,625\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396463

Phương pháp giải

Tổng trở của mạch: \(Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}\)

Cường độ dòng điện trong mạch: \(I=\frac{U}{Z}\)

Công suất tiêu thụ trên điện trở R: \(P={{I}^{2}}R\)

Bất đẳng thức Cô – si: \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\) (dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\))

Hệ số công suất đoạn mạch: \(\cos \varphi =\frac{R}{Z}\)

Giải chi tiết

Công suất tiêu thụ trên biến trở R là:

\(\begin{align}& P={{I}^{2}}R=\frac{{{U}^{2}}R}{{{Z}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}R}{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}} \\& \Rightarrow P=\frac{{{U}^{2}}}{2r+R+\frac{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}} \\\end{align}\)

Để \({{P}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( R+\frac{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R} \right)}_{\min }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm, ta có:

\(R+\frac{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}{R}\ge 2\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}\)

Vậy mẫu số nhỏ nhất bằng \(2r+2\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}\) khi \(R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=80\,\,\Omega \)

Tổng trở mạch điện khi đó là:

\(Z=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=\sqrt{{{(80+r)}^{2}}+{{80}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{2.80}^{2}}+160r}\)

Để Z chia hết cho 40 thì \(\frac{{{Z}^{2}}}{{{40}^{2}}}=8+\frac{r}{10}\) là số nguyên và r nhỏ nhất

\(\Rightarrow r=10\,\,\left( \Omega \right)\Rightarrow Z=120\,\,\left( \Omega \right)\)

Hệ số công suất đoạn mạch AB là: \(\cos \varphi =\frac{R+r}{Z}=\frac{80+10}{120}=0,75\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.