Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên

Câu hỏi số 396630:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\) và thỏa mãn các hệ thức \(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4\), \(g\left( x \right) = - x.f'\left( x \right)\), \(f\left( x \right) = - x.g'\left( x \right)\). Giá trị của \(f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)\) bằng:

A. \(2\ln 2\).

B. \(\ln 2\).

C. \(\ln 3\).

D. 1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396630

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\int {\dfrac{{u'\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}}} \,dx = \int {\dfrac{1}{{u\left( x \right)}}} \,d\left( {u\left( x \right)} \right) = \ln \left| {u\left( x \right)} \right| + C\)

Giải chi tiết

Xét các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\), có:\(g\left( x \right) = - x.f'\left( x \right)\), \(f\left( x \right) = - x.g'\left( x \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = - x.{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}} = - \dfrac{1}{x}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{{{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)}}dx} = \int\limits_1^4 {\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \left. {\ln \left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|} \right|_1^4 = - \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^4\\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| - \ln \left| {f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)} \right| = - \ln 4 + \ln 1\\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| - \ln 4 = - \ln 4\\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right)} \right| = 1\end{array}\)

Mà các hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) nhận giá trị dương, nên \(f\left( 4 \right) + g\left( 4 \right) = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.