Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(y =

Câu hỏi số 396631:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = g\left( x \right) = 3f\left( { - \sqrt {x - m} } \right) + \left( {x - m} \right)\sqrt {x - m} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\)?

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396631

Giải chi tiết

\(y = g\left( x \right) = 3f\left( { - \sqrt {x - m} } \right) + \left( {x - m} \right)\sqrt {x - m} \,\,\,\left( {x \ge m} \right)\)

Đặt \( - \sqrt {x - m} = u\), ta có: \(g\left( x \right) = 3f\left( u \right) - {u^3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( x \right) = 3\left( {f'\left( u \right) - {u^2}} \right).u' = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u' = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( u \right) = {u^2}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow u' = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {x - m} }} \ne 0\,\,\forall x \ne m\).

Số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( u \right)\) và \(y = {u^2}\).

Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow \)\(g'\left( x \right) \le 0,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) (bằng 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng này)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f'\left( u \right) - {u^2} \ge 0\\u' \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f'\left( u \right) - {u^2} \le 0\\u' \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u \ge - 2\\u' \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u \le - 2\\u' \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {x - m} \ge - 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {x - m} \le - 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - m} \le 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \le 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - m} \ge 2\\ - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - m} }} \ge 0\,\,\left( {vo\,\,ly} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - m} \le 2,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge x - 4\\m \le x\end{array} \right.,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array}\)

Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m = 0\) hoặc \(m = - 1\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.