Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\)\(AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) cân

Câu hỏi số 396923:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\)\(AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {17} }}{9}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{3}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {17} }}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{6}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396923

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia, xác định chiều cao của khối chóp.

- Xác định góc giữa cạnh bên \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = \dfrac{1}{3}Bh\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(HC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {60^0}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BHC\) ta có: \(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot HC\) hay \(\Delta SHC\) vuông tại \(H\).

\( \Rightarrow SH = HC.tan{60^0} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {51} }}{2}\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \({S_{ABCD}} = AB.AD = a.2a = 2{a^2}\).

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {51} }}{2}.2{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.