Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\)\(AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).

Câu 396923: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\)\(AD = 2a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {17} }}{9}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{3}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {17} }}{3}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{6}\)

Câu hỏi : 396923

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia, xác định chiều cao của khối chóp.

- Xác định góc giữa cạnh bên \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = \dfrac{1}{3}Bh\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(HC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {60^0}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BHC\) ta có: \(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot HC\) hay \(\Delta SHC\) vuông tại \(H\).

\( \Rightarrow SH = HC.tan{60^0} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {51} }}{2}\).

Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \({S_{ABCD}} = AB.AD = a.2a = 2{a^2}\).

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {51} }}{2}.2{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {51} }}{3}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.