Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\). Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y -

Câu hỏi số 397263:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\). Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 1\,\, = \,\,0\)và đường thẳng \(d:x + y + 1\,\, = \,\,0\). Tìm những điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ điểm \(M\) kẻ được đến \(\left( C \right)\) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc \({90^0}\).

A. \({M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 - 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 - 1} \right)\)

B. \({M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 + 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 + 1} \right)\)

C. \({M_1}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 - 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 - 1} \right)\)

D. \({M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 - 1} \right)\) hoặc \({M_2}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 + 1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:397263

Phương pháp giải

Hai tiếp tuyến tại \(A\), \(B\) của đường tròn tâm \(I\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\) khi đó \(IBMA\) là hình vuông.

\(M \in d \Rightarrow \) Tọa độ của điểm \(M\)

Áp dụng các tính chất của hình vuông, định lý Pytago để xác định tọa độ điểm \(M\)

Giải chi tiết

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y - 1\,\, = \,\,0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {2;1} \right)\\R = 2\end{array} \right.\).

\(M\) thuộc \(d\) suy ra \(M(t; - 1 - t)\).

Nếu hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì \(MAIB\) là hình vuông (\(A\),\(B\) là 2 tiếp điểm).

Do đó \(AB = MI = IA\sqrt 2 = R\sqrt 2 = \sqrt 6 .\sqrt 2 = 2\sqrt 3 \)

Ta có : \(MI = \sqrt {{{\left( {2 - t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}} = \sqrt {2{t^2} + 8} = 2\sqrt 3 \)

Do đó : \(2{t^2} + 8 = 12\)\( \Leftrightarrow {t^2} = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \sqrt 2 \Rightarrow {M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 - 1} \right)\\t = \sqrt 2 \Rightarrow {M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 - 1} \right)\end{array} \right.\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.