Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường tròn :\(\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} = 13\) và \(\left(

Câu hỏi số 397264:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường tròn :\(\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} = 13\) và \(\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\) cắt nhau tại \(A\left( {2;3} \right)\).Viết phương trình tất cả đường thẳng\(d\) đi qua \(A\) và cắt \(\left( {{C_1}} \right),\;\left( {{C_2}} \right)\) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

A. \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y + 5 = 0\)

B. \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\)

C. \(d:x + 2 = 0\) và \(d:2x - 3y - 5 = 0\)

D. \(d:x - 2 = 0\) và \(d:2x + 3y + 5 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:397264

Phương pháp giải

+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right)\)

+) Xác định phương trình đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,B\); đường thẳng \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại hai điểm \(A,\,\,C\);

Giải chi tiết

Theo giả thiết : \(\left( {{C_1}} \right):\;I = \left( {0;0} \right),R = \sqrt {13} .\left( {{C_2}} \right);J\left( {6;0} \right),R' = 5\)

Gọi đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {2;3} \right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\end{array} \right.\)

\(d\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\), \(B\): \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{x^2} + {y^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 2\left( {2a + 3b} \right)t} \right] = 0 \Rightarrow t = - \frac{{2a + 3b}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow B\left( {\frac{{b\left( {2b - 3a} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{a\left( {3a - 2b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\).

Tương tự \(d\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(A\), \(C\) thì tọa độ của \(A\), \(C\) là nghiệm của hệ : \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 3 + bt\\{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{2\left( {4a - 3b} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( \Leftrightarrow C\left( {\frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}};\frac{{3{a^2} + 8ab - 3{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

Nếu 2 dây cung bằng nhau thì \(A\) là trung điểm của \(A\),\(C\). Từ đó ta có phương trình :

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2{b^2} - 3ab} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{10{a^2} - 6ab + 2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4\)\( \Leftrightarrow 6{a^2} - 9ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{3}{2}b\end{array} \right.\)

Với \(a = 0 \Rightarrow \left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):x - 2 = 0\).

Với \(a = \frac{3}{2}b \Rightarrow \left( {d'} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left( {d'} \right):2x - 3y + 5 = 0\)

Vậy ta có hai đường thẳng \(\left( d \right):x - 2 = 0\) và \(\left( {d'} \right):2x - 3y + 5 = 0\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10