Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF.\) Gọi \(G,\,\,K,\,\,I,\,\,J\) là hình chiếu của
Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF.\) Gọi \(G,\,\,K,\,\,I,\,\,J\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\), \(AC\), \(BE\), \(CF\). Chứng minh rằng \(G,\,\,K,\,\,I,\,\,J\) thẳng hàng.
Quảng cáo
Sử dụng định lí Ta-lét, định lí Ta-lét đảo, hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh \(GI,\,\,JG,\,\,IJ\) cùng song song với \(EF\).
Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)
Ta có: \(\dfrac{{GB}}{{GF}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{IB}}{{IE}}\) (Định lí Ta-lét) \( \Rightarrow GI\parallel EF\,\,\,\left( 1 \right)\) (Định lí Ta-lét đảo).
Chứng minh tương tự: \(KJ\parallel EF\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp (do \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)).
Chứng minh được \(\Delta BHC \sim \Delta FHE\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{HF}}{{HE}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}\,\,\left( 3 \right).\)
Xét hai tam giác \(BHD\) và \(CHD\) vuông tại \(D,\) ta có: \(HB = \dfrac{{H{D^2}}}{{HI}},\,\,HC = \dfrac{{H{D^2}}}{{HJ}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Thay vào \(\left( 3 \right):\,\,\dfrac{{HF}}{{HE}} = \dfrac{{\dfrac{{H{D^2}}}{{HI}}}}{{\dfrac{{H{D^2}}}{{HJ}}}} = \dfrac{{HJ}}{{HI}} \Rightarrow IJ\parallel EF\,\,\left( 4 \right)\) (Định lí Ta-lét đảo).
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 4 \right) \Rightarrow G,\,\,K,\,\,I,\,\,J\) thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
