Cho tam giác \(ABC\). Kẻ đường cao \(AH.\) Bên ngoài tam giác \(ABC\) vẽ hai tam giác \(ABE\) và \(ACF\)
Cho tam giác \(ABC\). Kẻ đường cao \(AH.\) Bên ngoài tam giác \(ABC\) vẽ hai tam giác \(ABE\) và \(ACF\) vuông cân tại \(A.\) Chứng minh rằng \(M,\,\,A,\,\,H\) thẳng hàng, với \(M\) là trung điểm \(EF.\)
Quảng cáo
- Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M.\) Chứng minh \(\angle EAD = \angle ABC\).
- Từ đó suy ra \(\angle EAD + \angle BAH = {90^0}\).
- Chứng minh \(\angle DAH = {180^0}\), từ đó suy ra \(M,\,\,A,\,\,H\) thẳng hàng.
Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M.\)
Ta có tứ giác \(AEDF\) là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Xét tam giác \(DEA\) và tam giác \(CAB\) ta có:
\(AE = AB\);
\(ED = AF = AC;\)
\(\begin{array}{l}\angle DEA = {180^0} - \angle EAF\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - \angle EAB - \angle FAC - \angle BAC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - {{90}^0} - {{90}^0} - \angle BAC} \right) = \angle BAC\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta DEA = \Delta CAB\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {EAD} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng).
\( \Rightarrow \angle EAD + \angle BAH = \angle ABC + \angle BAH = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle EAD + \angle BAH + \angle BAE = {180^0} \Rightarrow \angle DAH = {180^0}.\)
Vậy \(M,\,\,A,\,\,H\) thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
