Cho hình chữ nhật \(ABCD.\,\,E\) là một điểm tùy ý trên đường chéo \(BD.\) Gọi \(F\) là điểm
Cho hình chữ nhật \(ABCD.\,\,E\) là một điểm tùy ý trên đường chéo \(BD.\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(E.\) \(M,\,\,N\) theo thứ tự là hình chiếu của \(F\) trên \(AD\) và \(AB.\) Chứng minh rằng \(E,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.
Quảng cáo
Sử dụng tiên đề Ơ-clit, chứng minh \(IE,\,\,IM\) cùng song song với \(AC\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AF.\) Dễ thấy \(ANMF\) là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông), suy ra \(I\) là trung điểm \(AF\) \( \Rightarrow IE\) là đường trung bình của tam giác \(AFC\)\( \Rightarrow IE\parallel AC\,\,\left( 1 \right).\)
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có: \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(AFC.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel FC\\OI = \dfrac{1}{2}FC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel EF\\OI = EF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OIFE\) là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
\( \Rightarrow IF\parallel OE \Rightarrow AF\parallel BD \Rightarrow \angle IAM = \angle ODA\) (so le trong).
Mà \(\angle IAM = \angle IMA\) (do \(\Delta IAM\) cân tại \(I\)) và \(\angle ODA = \angle OAD\) (do \(\Delta OAD\) cân tại \(O\)).
\( \Rightarrow \angle IMA = \angle OAD \Rightarrow IM\parallel AO \Rightarrow IM\parallel AC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow I,\,\,M,\,\,E\) thẳng hàng \(E,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
