Cho hình chữ nhật \(ABCD.\,\,E\) là một điểm tùy ý trên đường chéo \(BD.\) Gọi \(F\) là điểm

Câu hỏi số 398400:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD.\,\,E\) là một điểm tùy ý trên đường chéo \(BD.\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(E.\) \(M,\,\,N\) theo thứ tự là hình chiếu của \(F\) trên \(AD\) và \(AB.\) Chứng minh rằng \(E,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398400

Phương pháp giải

Sử dụng tiên đề Ơ-clit, chứng minh \(IE,\,\,IM\) cùng song song với \(AC\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AF.\) Dễ thấy \(ANMF\) là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông), suy ra \(I\) là trung điểm \(AF\) \( \Rightarrow IE\) là đường trung bình của tam giác \(AFC\)\( \Rightarrow IE\parallel AC\,\,\left( 1 \right).\)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có: \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(AFC.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel FC\\OI = \dfrac{1}{2}FC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel EF\\OI = EF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OIFE\) là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

\( \Rightarrow IF\parallel OE \Rightarrow AF\parallel BD \Rightarrow \angle IAM = \angle ODA\) (so le trong).

Mà \(\angle IAM = \angle IMA\) (do \(\Delta IAM\) cân tại \(I\)) và \(\angle ODA = \angle OAD\) (do \(\Delta OAD\) cân tại \(O\)).

\( \Rightarrow \angle IMA = \angle OAD \Rightarrow IM\parallel AO \Rightarrow IM\parallel AC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow I,\,\,M,\,\,E\) thẳng hàng \(E,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link