Cho tam giác nhọn \(ABC\). Dựng bên ngoài tam giác \(ABC\) các hình vuông \(ABDE,\) \(ACFG\) và hình bình
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Dựng bên ngoài tam giác \(ABC\) các hình vuông \(ABDE,\) \(ACFG\) và hình bình hành \(AEKG.\)
a) Chứng minh \(AK = BC,\,\,AK \bot BC.\)
b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(BF\) và \(CD.\) Chứng minh rằng \(K,\,\,A,\,\,M\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Để chứng minh \(AK = BC\) ta chứng minh \(\Delta EAK = \Delta ABC\) theo trường hợp c.g.c.
Gọi \(N\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC.\) Để chứng minh \(AK \bot BC\) ta chứng minh \(\angle ABN + \angle BAN = {90^0}\).
b) Chứng minh \(M\) là trực tâm tam giác \(KBC\).
a) Xét tam giác \(KEA\) và tam giác \(ABC\), ta có
\(AE = AB\)
\(EK = AG = AC\)
\(\begin{array}{l}\angle KEA = {180^0} - \angle EAG\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - \angle EAB - \angle GAC - \angle BAC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - {{90}^0} - {{90}^0} - \angle BAC} \right) = \angle BAC\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta EAK = \Delta ABC\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow AK = BC\) và \(\angle ABC = \angle EAK\) (các cạnh và góc tương ứng).
Gọi \(N\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ABN + \angle BAN = \angle ABC + {180^0} - \angle EAB - \angle EAK\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle ABC + {180^0} - {90^0} - \angle ABC = {90^0}.\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle ANB = {90^0} \Rightarrow \angle AN \bot BC \Rightarrow AK \bot BC\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
b) Xét tam giác \(KAB\) và tam giác \(CBD\), ta có:
\(BC = AK\)
\(BD = AB\)
\(\begin{array}{l}\angle CBD = \angle ABC + \angle ABD = \angle EAK + {90^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle EAK + \angle EAB = \angle KAB\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta KAB = \Delta CBD\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow \angle CDB = \angle KBA\\ \Rightarrow \angle CDB + \angle KBD = \angle KBA + \angle KBD = \angle ABD = {90^0}.\end{array}\)
\( \Rightarrow CD \bot KB \Rightarrow CM \bot KB\).
Chứng minh tương tự ta được: \(BM \bot KC \Rightarrow M\) là trực tâm của tam giác \(KBC\)\( \Rightarrow KM \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow K,\,\,A,\,\,M\) thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
