Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), điểm \(M\) trên cung \(BC\) nhỏ.

Câu hỏi số 398403:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), điểm \(M\) trên cung \(BC\) nhỏ. Gọi \(E,F\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(M\) qua \(AB,AC.\) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng \(E,H,F\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398403

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất và dấu hiệu của tứ giác nội tiếp, biến đổi góc, tính chất của phép đối xứng trục.

Giải chi tiết

Kẻ các đường cao \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\) của tam giác \(ABC.\)

Chứng minh được \(\Delta ABE = \Delta ABM\,\,\left( {c.c.c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BMA} = \widehat {BEA},\,\,\widehat {EAM} = \widehat {MAB}.\)

Ta có \(HA'CB'\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BHA'} = \widehat {A'CB'} = \widehat {BMA} = \widehat {BEA}\)

\( \Rightarrow AHBE\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {EHB} = \widehat {EAB} = \widehat {MAB}\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\widehat {A'HC} = \widehat {ABC},\,\,\widehat {CHF} = \widehat {MAC}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {EHB} + \widehat {BHA'} + \widehat {A'HC} + \widehat {CHF}\\ = \widehat {MAB} + \widehat {ABC} + \widehat {ABC} + \widehat {MAC}\\ = \widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {EHF} = {180^0} \Rightarrow E,H,F\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link