Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Trên các cạnh \(AB,AC\) thứ tự dựng các

Câu hỏi số 398405:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Trên các cạnh \(AB,AC\) thứ tự dựng các hình vuông \(ABEF,\,\,ACGI\) nằm ngoài tam giác \(ABC.\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(BG\) và \(AH.\) Chứng minh rằng \(C,O,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398405

Phương pháp giải

Sử dụng tam giác đồng dạng, định lý Ceva, định lý Menelaus.

Giải chi tiết

Gọi \(D,\,\,K,\,\,G\) lần lượt là giao điểm của \(CO\) và \(AB,\,\,BO\) và \(AC,\,\,EB\) và \(GC.\)

Đặt \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ABC \sim \Delta HAC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HA}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} \Rightarrow AB.HC = AC.HA\,\,\,\left( 1 \right)\\\Delta ABC \sim \Delta HBA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{HA}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} \Rightarrow AC.HB = AB.HA\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Mặt khác theo định lý Ceva trong tam giác \(\Delta ABC\) ta có

\(\dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AK}}{{KC}}.\dfrac{{CH}}{{HB}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AB}}{{CG}}.\dfrac{{AH}}{{HB}} = 1\) (vì \(\dfrac{{AK}}{{KC}} = \dfrac{{AB}}{{CG}}\) do \(AB//CG\))

\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AB.CH}}{{AC.HB}} = 1\) (vì \(CG = AC\))

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) ta có

\(\dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AC.HA}}{{AB.HA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA + BD}} = \dfrac{{AB}}{{AC + AB}}\) hay \(\dfrac{{BD}}{c} = \dfrac{c}{{b + c}}\,\,\left( 3 \right)\)

Mà \(\dfrac{{BO}}{{OG}}.\dfrac{{GC}}{{CM}}.\dfrac{{ME}}{{EB}} = \dfrac{{BD}}{{CG}}.\dfrac{{GC}}{{AB}}.\dfrac{{AC + AB}}{{AB}} = \dfrac{{BD}}{{GC}}.\dfrac{{GC}}{c}.\dfrac{{b + c}}{c}\)

Kết hớp với \(\left( 3 \right)\) ta được: \(\dfrac{{BO}}{{OG}}.\dfrac{{GC}}{{CM}}.\dfrac{{ME}}{{EB}} = \dfrac{{BD\left( {b + c} \right)}}{{{c^2}}} = \dfrac{c}{{b + c}}.\dfrac{{b + c}}{c} = 1\) \( \Rightarrow C,O,E\) thẳng hàng (định lý Menelaus trong tam giác \(BMG\)).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link