Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0,\)

Câu hỏi số 399031:

Thông hiểu

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0,\) các đỉnh \(A\) và \(B\) thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(2.\) Tọa độ trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) là:

A. \(\left[ \begin{array}{l}{G_1}\left( { - \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\\{G_2}\left( {\frac{{ - 1 - 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}{G_1}\left( {\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\\{G_2}\left( {\frac{{ - 1 - 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}{G_1}\left( {\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\, - \,\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\\{G_2}\left( {\frac{{ - 1 - 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}{G_1}\left( {\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\\{G_2}\left( {\frac{{1 + 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399031

Phương pháp giải

Theo đề bài ta có: \(BC \cap Ox = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {1;\,\,0} \right).\)

Điểm \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;\,\,0} \right).\)

Dựa vào các giả thiết bài toán, tìm tọa độ điểm \(A,\,\,C \Rightarrow G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\,\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\,} \right).\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(BC \cap Ox = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {1;\,\,0} \right).\)

Điểm \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;\,\,0} \right).\)

Lại có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow AC \bot AB \Rightarrow C\left( {a;\,\,{y_C}} \right).\)

Mà \(C \in BC:\,\,\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0 \Rightarrow C\left( {a;\,\,\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{a + 1 + a}}{3} = \frac{{2a + 1}}{3}\\{y_G} = \frac{{\sqrt 3 a - \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{{2a + 1}}{3};\,\,\frac{{\sqrt 3 a - \sqrt 3 }}{3}} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {{x_A} - {x_B}} \right| = \left| {a - 1} \right|\\AC = \left| {{y_A} - {y_C}} \right| = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|\\BC = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}} = 2\left| {a - 1} \right|.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{AB + BC + CA}}{2}.r\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{2}\left| {a - 1} \right|.\sqrt 3 \left| {a - 1} \right| = \frac{{\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right| + 2\left| {a - 1} \right|}}{2}.2\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\left( {a - 1} \right)^2} = 2\left( {\sqrt 3 + 3} \right)\left| {a - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 .\left| {a - 1} \right| = 2\left( {\sqrt 3 + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {a - 1} \right| = 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 = 2\sqrt 3 + 2\\a - 1 = - 2\sqrt 3 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\sqrt 3 + 3\\a = - 2\sqrt 3 - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{G_1}\left( {\frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\\{G_2}\left( {\frac{{ - 1 - 4\sqrt 3 }}{3};\,\,\frac{{ - 6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.