Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0.\) Viết phương trình tiếp tuyến

Câu hỏi số 399032:

Thông hiểu

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0.\) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến cắt tia \(Ox,\,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,\,B\) sao cho \(\Delta ABC\) có diện tích bằng \(4.\)

A. \(2x + y + 4 = 0\)

B. \(2x + y - 4 = 0\)

C. \(x + 2y + 4 = 0\)

D. \(x + 2y - 4 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399032

Phương pháp giải

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Giả sử tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) cắt các tia \(Ox,\,\,Oy\) tại các điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right)\,\,\,\left( {a > 0,\,\,b > 0} \right).\)

Khi đó ta có: \(d:\,\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + ay - ab = 0.\)

Lại có: \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = \sqrt 5 \)

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Khi đó ta có: \(d:\,\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + ay - ab = 0.\)

Theo đề bài ta có: \({S_{AOB}} = 4\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab = 4 \Leftrightarrow ab = 8 \Leftrightarrow b = \frac{8}{a}.\)

Lại có: \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R = \sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {b - a - ab} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {b - a - 8} \right| = \sqrt {5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 16a - 16b + 64 = 5{a^2} + 5{b^2}\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} + 16 - 16a + 16b - 64 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 4b - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 16 - 4\left( {a - b} \right) - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} - 4\left( {a - b} \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a - b - 2 = 0\\ \Leftrightarrow a - \frac{8}{a} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( {a - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 0\\a - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 4\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow b = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow d:\,\,\,2x + 4y - 8 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.