Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\) và điểm \(A\left( {2;\,\,5}

Câu hỏi số 399033:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\) và điểm \(A\left( {2;\,\,5} \right).\) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ \(A\) tới đường tròn. Giả sử các tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm \(M,\,\,N.\) Hãy tính độ dài \(MN.\)

A. \(MN = 3\sqrt 2 \)

B. \(MN = 3\)

C. \(MN = 2\sqrt 5 \)

D. \(MN = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399033

Phương pháp giải

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IA} = \left( {3;\,\,3} \right) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2 > R \Rightarrow A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

Từ đó suy ra phương trình các đường tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) và tìm tọa độ các điểm \(M,\,\,N \Rightarrow MN.\)

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = 3.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IA} = \left( {3;\,\,3} \right) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2 > R \Rightarrow A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)

\( \Rightarrow \) Từ \(A\) có thể kẻ được 2 đường tiếp tuyến với đường tròn \(\left( C \right).\)

Gọi tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) kẻ từ \(A\left( {2;\,5} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {a;\,\,b} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d:\,\,\,a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 5} \right) = 0\\ \Rightarrow d:\,\,\,ax + by - 2a - 5b = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\,\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - a + 2b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \left| { - 3a - 3b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow {d_1}:\,\,\,\,y - 5 = 0\\b = 0 \Rightarrow {d_2}:\,\,\,x - 2 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy có hai tiếp tuyến là \({d_1}:\,\,\,y = 5\) và \({d_2}:\,\,x = 2.\)

Gọi \(M = {d_1} \cap \left( C \right) \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 5\\{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5\\x = - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;\,\,5} \right).\)

Gọi \(N = {d_2} \cap \left( C \right) \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;\,\,2} \right).\\ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 .\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10