Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10.\) Có bao

Câu hỏi số 399038:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10.\) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng \(d:\,\,\,2x + y - 4 = 0\) một góc \({45^0}.\)

A. \(4\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399038

Phương pháp giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {10} .\)

Giả sử tiếp tuyến \(\Delta :\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right).\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R = \sqrt {10} .\)

Theo đề bài ta có: \(\Delta \) tạo với \(d\) một góc \({45^0} \Rightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}.\)

Giải phương trình để từ đó lập phương trình đường thẳng \(\Delta .\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {2;\,\,1} \right).\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {10} .\)

Giả sử tiếp tuyến \(\Delta :\,\,\,ax + by + c = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {a;\,\,b} \right).\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R = \sqrt {10} .\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a - b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {a - b + c} \right| = \sqrt {10\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a + b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + 1} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left| {2a + b} \right| = \sqrt {10} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow 4{\left( {2a + b} \right)^2} = 10\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 6{a^2} + 16ab - 6{b^2} = 0 \Leftrightarrow 3{a^2} + 8ab - 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + 3b} \right)\left( {3a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 3b = 0\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3b\\a = \frac{b}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(a = - 3b \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| { - 3b - b + c} \right| = \sqrt {10\left( {9{b^2} + {b^2}} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {c - 4b} \right| = \sqrt {100{b^2}} \Leftrightarrow \left| {c - 4b} \right| = 10\left| b \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 4b = 10b\\c - 4b = - 10b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 14b\\c = - 6b\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 3b\\c = 14b\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _1}:\,\,\, - 3x + y + 14 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 3b\\c = - 6b\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _2}:\,\, - 3x + y - 6 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,3x - y - 14 = 0\\{\Delta _2}:\,\,3x - y + 6 = 0\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = \frac{b}{3} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| {\frac{b}{3} - b + c} \right| = \sqrt {10\left( {\frac{{{b^2}}}{9} + {b^2}} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {c - \frac{{2b}}{3}} \right| = \sqrt {\frac{{100{b^2}}}{9}} \Leftrightarrow \left| {c - \frac{{2b}}{3}} \right| = \frac{{10}}{3}\left| b \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - \frac{{2b}}{3} = \frac{{10b}}{3}\\c - \frac{{2b}}{3} = - \frac{{10b}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 4b\\c = - \frac{8}{3}b\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{3}\\c = 4b\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _3}:\,\,\,\frac{1}{3}x + y + 4 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{3}\\c = - \frac{{8b}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _4}:\,\,\frac{1}{3}x + y - \frac{8}{3} = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\Delta _3}:\,\,\,x + 3y + 12 = 0\\{\Delta _4}:\,\,x + 3y - 8 = 0\end{array} \right..\)

Như vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.